KONTROL SSTEMLERNDE BELRSZLKLE BA ETME YNTEMLER: LYAPUNOV TARZI YAKLAIMLAR1

ZET 
Endstriyel denetim sistemlerinde genel olarak sistem modeli ve ierebilecei belirsizlikler gzard edilerek, kapal evrim yaps sadece k hatasna dayal olan, Orant tipi (P-tipi), ntegral tipi (I-Tipi), Orant artntegral etkili (PI-Tip), Orant art Trev etkili (PD-Tip), ve son olarak Orant artntegral art Trev etkili (PID-Tip) denetim algoritmalar kullanlr. Kontrol kazanlar, sistem performans tatminkr bulununcaya kadar ayarlanan bu basit denetim algoritmalar ou zaman retim kayplarna yol amakta ve ok deerli olan hammadde sarfiyatn arttrmaktadr. Bir dier yanlg ise sistem belirsizlikleri ile baa kabilen aklldenetleyicilerin yksek ilemci gcne gerek duyduu ve bu sebeple yksek maliyet gerektirdii kansdr. Gnmz mikro-ilemcileri ok karmak algoritmalarbile gerek zamanl denetim gerektiren sistemlerde baar ile uygulayabilmektedir. Geriye kalan sorun; gelikin kontrol algoritmalarnn hangisinin denetimini yapmak istediimiz, ounlukla da dorusal olmayan parametreler ieren sistemler iin daha uygun olduunu belirlemek, ki bu genellikle zaman ve ekonomi asndan nemli bir bilgidir, ve kullanlacak algoritmadan ne tr sonu beklenmesi gerektiinin bilinmesidir. Bu bilginin deerlendirilmesinde, algoritmann sistemimizin kararlln salayp salamayacann bilinmesi ncelik tamaktadr. Bu almamzda, sistem denklemi bilinmesine karn parametrik belirsizlikler de ierebilen genel bir denetim sistemi iin tasarlanm akll denetim algoritmalarnn derlemesi olacak bir klavuz sunulmutur. almamzda sistem kararllk analizleri Lyapunov tarz yaklamlar nda ele alnm, hangi kontrol ynteminin hangi problemde daha uygun olabileceini ieren bir tartma da sonu blmnde sunulmutur 

1. GR
Gerek hayatta karmza kan pek ok dinamik sistem, (mekanik, elektrik-elektronik, sl, akkan, ekonomik, vb.) sistem model denklemi olarak adlandrlan diferansiyel denklemler yoluyla karakterize edilirler. Bir dinamik sistemin bir girifonksiyonuna kar gsterecei tepki bu diferansiyel denklemin zmnden elde edilir. Ancak sistem model denklemlerinin zmne ulamak her zaman mmkn olmaz. zmn olduu artlarda dahi gerek modellemede yaplabilecek hatalar, gerekse model denkleminde bulunan belirsizlikler ve bu belirsizliklerle ba etme yntemlerinin yeterince bilinmemesi, sistemin istediimiz tepkiyi vermesi iin tasarlanan denetim yaplarnn arzu edilir performanstan uzak kalmasna yol aabilmektedir. Denetim sisteminde olmas gereken kararllk zellikleri, gvenlik ve baarm anlamnda nemli noktalardr. zellikle uygulamaya ynelik almalarda hassas izleme, evresel bozucu etkenlere duyarszlk ve yapsal belirsizlikler ile baedilebilmesini gerektirdii iin yaplacak tasarm btn bu etmenleri dikkate almaldr. Oysa geleneksel tasarm yntemlerinin bu etkenlerin modellenmesi iin nerdii aamalar hem matematiksel olarak karmak ilemlerin yaplmasn hem de fiziksel gerekleme aamasnda yksek maliyetli komponentlerin kullanmn zorunlu klabilmektedir. Dolaysyla alternatif tasarm yntemlerinin kullanmnn zorunlulua dnt durumlarda, kullanlacak bu ilemsel akl ieren algoritmalarn denetim sisteminin genel kararllk zelliklerinin bilinmesi istenir. Bu bilgi nda denetim problemlerinin zmndeki nemli glkler alabilecektir. 
eitli sistemlere ait matematiksel modellerin kararllklar zerine yaplan almalar yllar ncesine dayanmaktadr. Bu almalarn balangcdiferansiyel denklemler zerine yaplan almalarn baarsyla birlikte bunlarn denetim sistemlerine bir model oluturmas ile ezamanldr. Bir denetim sistemine ilikin ilk kuramsal zmlerden biri Watt reglatrnn diferansiyel denklem modelini 1868 ylnda gelitirerek gerekleyen J. C. Maxwell tarafndan sunulmutur [1]. Bu almay sistem karakteristik denklemlerini durum diferansiyel denklemlerinin lineerletirilmesi metoduyla yapan Maxwell, sistem parametrelerinin kararllktaki etkilerini ve sistem karakteristik denklemlerinin kklerinin negatif dzlemde yer alp almadngsterdi. Sz konusu alma kontrol teorisindeki en nemli almalardan biri olarak kabul grd ve denetim kuramnn gelimesinde dier bilim adamlarnn almalarna temel oluturdu. Routh, karakteristik denklemin kklerinin kararlln tespitini saladna dair varsaymn, saysal teknikler kullanarak yapt almalarnda 1877 ylnda kantlad [2]. Rus bilim adam II. Vishnegradsky 1877de; Maxwellin almalarndan haberdar olmadan bamsz olarak diferansiyel denklemleri kullanarak reglasyon kararlln analiz etti [3]. A.B. Stodala ise 1893te; II. Vishnegradskynin bulmu olduu yntemleri kullanarak bir su trbininin reglasyon kararllanalizini yapt. Bu almada sistemin eyleyici mekanizmalarn, rleleri ieren eyleyici dinamiklerini modelledi ve ilk defa sistem zaman sabitinden bahsetti [4]. Hurtwitz 1895 ylnda karakteristik denklemin sistem kararllnn belirlenmesi problemini zd [5]. O yllarda kontrol teorisinde almalar yapan Lyapunov bu sahada ufuklar aan almalarn, 1892de potansiyel enerji fonksiyonlarn kullanarak diferansiyel denklemlerin kararllk analizlerini yapt [6]. Ancak onun bu almalar 1900l yllarn ortalarna kadar batda fark edilmedi. Daha sonraki yllarda kararllk analizi almalarnda 1964 ylnda I.W. Sandberg [7], 1966da G. Zames [8], C.A. Desoer [9] ve Popov [10]; Lyapunov`un dorusal olmayan sistemlerin kararllk analizi almalarn srdrmlerdir. 
Bu almamzda, denetim sistemleri kontrol sinyalinin tasarlanmas srasnda, sistem model denkleminin zmn gerektirmeyen, buna karn evresel bozucu etken ve yapsal belirsizliklerle kararl bir ekilde baa kabilen kontrollerin tasarm yntemlerini inceleyeceiz. almamzda ilk olarak belirsizlikler ieren genel bir sistem modeli iin kullanacamz diferansiyel denklem tantlmakta ve bu belirsizlik modeli tam olarak bilindiinde uygulanabilecek kontrol sinyal tasarm sunulmakta, daha sonra sras ile genel adaptif denetleyici tasarm, tekrarlanan ilevler iin kullanlan renme bazl(learning) denetleyici tasarm, yapay sinir alarnn renebilme yeteneklerini kullanlarak tasarlanan denetleyici tasarm, son olarak da standart ve PI denetleyiciler eklinde tasarlanabilen grbz (robust) denetleyiciler incelenmektedir. Sonu blmnde ise incelenen denetleyicilerin gl ve zayf yanlar dile getirilip denetleyici seiminde mhendis ve bilim adamlarna yardmc olabilmesi amacile hangi tip denetleyicilerin hangi sistemlerde kullanlabilecei konusunda bir tartma sunulmutur. ncelenen btn denetleyicilerin Lyapunov tarz analizler nda kararllk durumlar da detayl olarak verilmektedir. 

Sunum iinde kullanlan analizlerde yer alan L. ve 
L. kmeleri sra ile 
 
L	= sup 
 
.M <.. t .0
 

L2 =
.0 ()()dt .
. T M <.
olarak tanmlanm olup bu ifadelerde M reel saylar kmesine ait pozitif, byk bir say olarak tanmlanmtr. Bunlara ek olarak bu almada kullanlan bir dier tanm ise 
2 T 2
A 
F =tr A( A) =.Aij ,
ij 
biiminde tanmlanan Frobenius Normudur. 
Yukardaki denklemde verilen tr() fonksiyonu, matrisin izi olarak adlandrlp, kare matrisin esas kegenindeki elemanlarn toplamdr. 
2.	GENEL MODEL VE TAM BLNEN MODEL BAZLI DENETM 
Gerek endstriyel ortamlarda gerekse doal evremizde en youn karlatmz sistemler ikinci dereceden dinamik sistemlerdir. Sunumumuzda da bu tip sistemlere genel bir yaklam sunabilmek amac ile 

 
x +(,,.)=ut()
fxx	(1) 
biiminde verilen skaler2 ikinci mertebeden bir dinamik model denklemini setik. Denklem (1)de verilen ,,\ ifadeleri sras ile, sistemin pozisyon,
xx.
hz ve ivme deikenleri olarak tanmlanm olup, (,,)\ sistemin karakteristiklerini ieren,
fxx ..
ounlukla nonlineer, belirsizlikler ieren bir fonksiyon olmakta, denetim amal kontrol girisinyali de u(t) olarak tanmlanmaktadr. Tanmndan da anlalaca zere f (xx,,.), fonksiyonunu hem 
sistem parametrelerini hem de sistem durumlar ile trevlerini iermektedir. Tasarm aamalarmza balamadan nce, sisteme uygulayacamz denetimin performansnn deerlendirilmesi amacyla, pozisyon hata deerini 
=	(2)
exd -x 
biiminde tanmlyoruz. Pozisyon hata deeri (2)de gzlemlenen xd .\ hedeflenen deeri (dier tanmile referans sinyali) olup en az ikinci mertebeden trevlenebilir ve trevleri ile birlikte snrl bir fonksiyon olarak tanmlanmtr (, ..).
dd, L
xxxd
Denetim sistemimizin k iin istenen referans 
2Sunumumuzda verilecek kontrol formulasyonlarnn vektrel yapda olan sistemlere entegrasyonu mmkndr ancak anlatm kolaylasndan skaler bir sistem seilmitir. 
sinyali sabit bir deer seildiinde (set-point problem) dahi yukarda kullandmz tanm geerliliini korumaktadr; ancak genel bir yaklam salayabilmek amacmz pekitirmek iin bu almamzda izleyici denetim sistemimizde kn zamanla deien bir girii en az hata ile nceden tanmlanan bir yrngeyi izlemesi esas alnmtr. (2)de tanmlanan hatay (1) de verilen ikinci mertebe sistemlere tamak amac ile "filtrelenmi" hata sinyalini 
re .e	(3)
= +
eklinde tanmlyoruz. Burada kullanlan skaler..\katsays denetim sistemimizde yer alan pozitif bir kazan katsaysdr. 
Aklama 1: Filtrelendirilmi hata deerini tanmladmz (3) ten yararlanarak hata ile filtrelenmi hata deeri arasndaki ilikiyi sunan transfer fonksiyonu 
es = rs
() 1 ()	(4) 
s +. 
biiminde elde edilir. Denklem (3)ten de anlalabilecei zere filtrelenmi hata sinyali rt()yi 
sfra yakn deerlere srebilirsek asl performans lmnde kullandmz et()yi de istediimiz deere ynlendirmioluruz [12]. 
Analizimize denklem (3)te elde ettiimiz filtrelenmihata sinyalinin zaman iinde deiimini, (1)de verilen sistem model denklemi nda inceleyerek balayalm. Bunun iin, (3) n zamana gre trevini alp (2)deki hata deerini bu denklemde yerine koyarak 
r=(xd -x)+.e (5) 
ifadesine ularz. (5) denklemindeki sistem durumunun ikinci trevi ifadesini (1) de verilen sistem denklemi ile ifade ederek oluan denklemi dzenleyerek 
r=(xd +.e)-u +f (x, x,.)(6) 
elde edilir. Bu aamada, ileriki blmlerde tasarlanacak deiik kontrol algoritmalarna taban oluturabilmek amac ile denetim giri sinyalimizi 
u =uf +uo(7) 
biiminde, ileri besleme blm uf ve geri besleme blm uo olarak iki paraya ayrarak yazacaz. (7)de belirtilen ileri besleme ifadesi 

uf	=( 
xd +.e)(8) 
E. Zergerolu vd. Kontrol Sistemlerinde Belirsizlikle Ba Etme Yntemleri: Lyapunov Tarz Yaklamlar 
biiminde tanmlanm olup denetim sinyali ierisinde sisteme dolaysz olarak uygulanacak, bilinen ksmlariermektedir. Sonraki blmlerde sunulacak dier tasarmlara taban oluturabilmek iin nce sistem belirsizliklerini ieren f ( ,, ) fonksiyonunun
xx .
tamamen bilindiini ve bu durumda denetim sinyalimizin geri besleme ksmn ieren uo sunulacak kararllk analizi nda 
uo =f (xx,,.)+kr (9) 
eklinde dnelim. Bu ifadede yer alan k .\pozitif bir kontrol kazan katsays (geri besleme kazanc) olarak tanmlanmtr. Denklem (8) ve (9) ifadelerinden yararlanarak denetim sinyali genel olarak 

u =( 
xd +.e)+f (,,.)+kr (10)
xx 
biiminde bulunur. Bu aamada aada belirtilen Teoremi sunmaya hazrz. 
Teorem-1: 
Sistem denklemi (1) biiminde ifade edilebilen sistemler iin; (10) ile tasarladmz kontrol denetim sinyali, (3)te belirtilen pozisyon hatasnn stel olarak snmlenmesi iin yeterli koullar salar [14]. Yani her t .0 deeri iin pozisyon hata sinyali 
et() .
e(0) exp(-kt) 
eitsizliini salayarak, stel olarak azalan bir zarf iinde sfra yaknsar. 
spat: 
Teorem-1de verilen yargy ispatlamak iin daha basit yaklamlar kullanlabilse de, ileriki blmler iin de temel oluturabilmek gayesiyle burada farklbir yaklam kullanacaz. Bu amala pozitif tanml, skaler Vt().\ fonksiyonunu 
V =1 r2 (11)2 
biimde tanmlayalm. (11)den de grld zere Vt(), sadece rt() =0 deerinde sfra eit olur ve 
rt()nin dier btn deerlerinde pozitif deerlere sahiptir (pozitif deerli bir fonksiyondur). (11) ile tanmladmz fonksiyonun zaman profilinde sistem deerlerine gre deiimi 
Vr = (12) 

eklinde elde edilir. Vt() denkleminde (6) ile elde 
ettiimiz r deerini yerletirip bulunan yeni denklemde, (10)da tasarladmz denetim sinyalini yerine yazarsak, V ile tanmladmz pozitif deerli fonksiyonun trevini 
V =-k2 (13) 
olarak buluruz. Vt()nin (11) ile verilen tanmndan elde edilen 2()
rt nin karln (13)e yerletirirsek Vt() fonksiyonunun trevini 
V =-2kV(14) 
biiminde bulmu oluruz. (14) ile bulduumuz bu diferansiyel denklemin zm 
Vt() =V (0)e-2kt (15) 
eklindedir. (15)den direkt olarak grlebildii gibiVt() fonksiyonu, t .0 iin V (0)deerinden balayarak stel bir ekilde azalmaktadr ve Vt() 
=V (0) deeri de snrlanabilir bir deer olduu 
t=0 iin, V .L. ifadesi dorudur. Dolaysyla (11)de pozitif olarak tanmlanan Vt() fonksiyonu iinde tanmlanan filtrelenmi hata rt() sinyali de stel 
olarak azalmak zorundadr ve ayn zamanda r .L. olmaktadr. Ayrca (3) ve (4) ile verilen tanmlardan yola karak ee,.L. olduunu ve her iki sinyalin de stel olarak azalmak zorunda olduunu syleyebiliriz3. et() ile xd ifadelerinin snrlanabilir olmalarndan dolay, denklem (2)den de yararlanarak x .L. ve aynekilde x.L. olduunu syleyebiliriz. f (xx, ,.) sinyalinin, x ve x sinyalleri 
snrl iken snrlandrlabilir olmas varsaymndan dolay (10) ile tasarladmz denetim sinyalimiz de snrldr; yani u .L. olmaktadr. Ksacas, (1)de 
belirtilen sistemler (10) ile tasarlanan denetim sinyali ile kumanda edildiinde oluan kapal dng sisteminde bulunan btn sinyaller snrl kalrlar; ayn zamanda (2) ile tanmladmz pozisyon hata sinyali de Teorem-1de iddia edildii gibi stel olarak azalan bir zarf iinde sfra yaknsam olur. u halde kapal dng sistemi kararldr ve denetim hedefine de ulalmtr. 


3. BELRSZLKLE BAETME YNTEMLER
Bir nceki blmde sistem belirsizliklerinin tamamen bilindiini veya lmle elde edilebileceini varsayarak denetim kontrol sinyalimizi tasarlamtk. Bu blmde ise belirsizlikler tam olarak veya neredeyse hi bilinmedii zaman kullanabileceimiz denetim sinyalleri zerinde younlaacaz. 
3Analizimizin bu blmnde Teorem-1'de nerilen sonua ulambulunuyoruz ancak halen denetim sinyalinin baml olduunu gsteremediimiz iin henz sonuca tam ulam saylmayz. 

3.1. Uyarlamal Denetim 
Uyarlamal denetim, sistem belirsizlikleri ieren f ( ,, )  fonksiyonunun dorusal biimde 
xx .
parametrelerine ayrlabildii durumlarda sklkla kullanlr. zellikle nonlineer f ( ,, )
xx . 
fonksiyonunun p adet bilinmeyen parametre ierdiini, ayn zamanda bilinen veya llebilen parametrelerin oluturduu (,) .1p  matrisi ile 
Wxx \
bilinmeyen parametrelerin oluturduu bir vektrn arpmeklinde 
f ( ,,.)=  (16) 
xxW.
ile ifade edilebilir olduunu varsayalm. Bu durumda f ( ,, )  fonksiyonu tam olarak bilinmedii
xx .
iin kontrol formlasyonumuzda direkt olarak kullanlamaz, bu sebepten dolayf ( ,, )
xx.fonksiyonunun tahmini deeri olarak f (xx .)
,, 
fonksiyonunun tanmlanmasna ihtiya duyarz. Tahmin fonksiyonumuzun f (xx .)  fonksiyonuna 
,, 
yaklaabilme performansn ise gerek deeri ile tahmini deeri arasndaki fark olarak 
 ( ,,.) xx  ( ,)  (17) 
fxx  =f (,,.)-fxx ,.
eklinde tanmlayalm. (17)de verilen f(,xx,.) ifadesini (16) referans alnarak 
 (,,.)=W   (18) 
fxx .
=W.-W. 
eklinde yeniden tanmlayabiliriz. Bir nceki blmde verilen analizimiz ile elde edilen denetim sinyal denklemi (10)da f (xx .)  fonksiyonu
,,  yerine 
f ( ,,)  tahmini deer ifadesi yazlrsa geri besleme 
xx .
ifademiz 
uo =f (xx ,,.)+kr  (19) 
biiminde elde edilir. (19)da sunulan f ( ,,)
xx . 
deerini kararllk analizimiz yardm ile tasarlayacaz. Denklem (6)da ifade edilen filtrelendirilmi hata trevi ifadesindeki kontrol girii ut()nin yerine (19) ile elde ettiimiz dengini yazp 
(17), (7) ve (8) de kullanlarak yeniden dzenlenirse, adaptif kontroller iin kullanacamz filtrelendirilmihata ifadesinin zaman iindeki deiimini 
r=-kr +f(,xx ,.)  (20) 
biiminde elde ederiz. Elde ettiimiz bilgiler nda aada verilen ikinci teoremimizi sunalm. 
Teorem-2: 
Sistem denklemi (1)de belirtilen sistem iin f ( ,, )
xx . 
fonksiyonu, (18)de belirtildii zere lineer biimde ayrlabiliyor ise geri besleme ifademiz; uo =f ( ,,.)+biiminde tasarlanp tahmini olan 
xx kr 
. 
 T
f =W.iinde yer alan .ifadesi, .=.Wr 
ifadesinin integralinden elde edildiinde; (2)de hata, t sonsuza raksadnda sfra yaknsar [14]; yani, pozisyon hata sinyali iin 
lim et() =0 
t.
yargs geerli olur. 
spat : 
Teorem-2nin ispat iin pozitif tanml skaler, a ()
Vt .\ fonksiyonunu u biimde tanmlayalm: 
Va=1 r2 +1 . T .-1.  .(21) 
22 
Tanmlanan bu fonksiyon ierisinde yer alan ..\pp pozitif tanml simetrik, diagonal adaptasyon katsaylar ieren kazan matrisidir. (21) ile tanmlanan Va fonksiyonunun trevi alndnda 
1
V a=rr +.T .- . .  (22) 
ifadesi elde edilir. Bu ifadede r (filtrelendirilmihatann trevi) terimi yerine (20)deki eiti yazlp yeniden dzenlendiinde 
Vr( kr +W. ) T -1 . . 
a=--.. (23) 
elde edilir. Bu ifadede fonksiyonun tahmin hatas olan 
. 
. terimi, Teorem-2de ifade edilen karlklar ile yazlr ise potansiyel Va fonksiyonunun trevi iin 
Va=-kr 2  (24) 
elde edilmiolur. (21) ve (24) ifadelerinden Vateriminin snrlandrlabilir bir fonksiyon olduu grlebilir:Va .L.. Vann snrl olmasndan dolayr,. fonksiyonlar dolays ile r de snrlandrlabilir (ksaca rt() muntazam olarak 
srekli bir fonksiyondur). Filtrelendirilmi hata fonksiyonunun snrl olmasndan dolay, pozisyon hatase ve pozisyon hatas trevi e ifadeleri de snrldrlar. Ayrca (24) ifadesinden r .L2  olduu grlebilir. Standart sinyal izleme metodolojisi takip 

E. Zergerolu vd. Kontrol Sistemlerinde Belirsizlikle Ba Etme Yntemleri: Lyapunov Tarz Yaklamlar 
edilerek kapal dng sistemimizde bulunan btn sinyaller snrlandrlabilir (.L. olduu ispatlanr). Bylece Barbalat Lemma [13]nn direkt uygulamasndan filtrelendirilmi hata deerinin sfra gidecei ispatlanm olur: lim t.r =0  (3) ve (4) 
ifadelerinden de pozisyon hataset() ile trevi 
et()ifadelerinin de t sonsuza raksadka sfra yaknsayacaklar ispatlanm olur. 


3.2. renme Bazl Denetim 
Yukarda da formlasyonunu sunduumuz adaptif denetleyici sistem belirsizlikleri ile ba etme yetilerini, (1) sistemi bilinmeyenlerini ieren f (xx,,.)  fonksiyonu, dorusal olarak paramet
relerine ayrlamad durumlarda, verimli olarak gsteremez. Bu durumda sistemlerde f (xx.)
,, 
fonksiyonunu blmlere ayrmak yerine, bir btn olarak "renmeye" almak daha iyi sonular verebilir. renme tabanl denetleyiciler bu tarz bir yaklam baz alnarak ortaya atlmlardr [15]. Ancak bu tip denetleyiciler sadece periyodik olarak ayn ii tekrar etmesi gereken sistemler iin kullanlabilir. 
renme bazl kontrolr tasarmmza, (6) ile ifade edilen filtrelendirilmi hatann trevi r ifadesinde (7) ve (8) ile verilen f (), denetleyici ileri besleme 
ut 
sinyalini yerine yazp dzenleyerek elde edilen 
r=f (,, )o  (25) 
xx .-u 
yeni r ifadesi ile balayalm. Bilinmeyen sistem bileenlerini ieren f (xx.)  fonksiyonunun kapal
,, 
dng sistemi zerindeki etkisini azaltabilmek amac ile fd (t) fonksiyonunu 
. 
 (26) 
()=f (,,
ft xx .)
d xxd ,
= 

xxd
= 
eklinde tasarlayalm. Bu almada zerinde durulan renme bazl kontrolrler iin fd ()t fonksiyonunun 
iinde yer alan xd ve xd  parametrelerinin bilinen 
bir T periyoduna sahip periyodik fonksiyonlar olduklar varsaylmaktadr. kinci varsaymmz ise fd (t)  fonksiyonunun xd ve xd  parametreleri ile 
aynekilde periyodik olduudur. Ksaca fd (t )=fd (t -T )  olduu varsaylmtr4. Bilinmeyen 
f (xx.)  fonksiyonundan t fonksiyonunu 
,, fd ()
fd ()t nin bilinen bir T periyodunu saladn varsaymak, ilk 
bakta tasarlanacak kontrolr iin bir zayflk olarak yorumlanabilse de, manyetik disk okuyucular, video ve audio cihazlar, uydu verici chazlar ve srekli olarak ayn ii tekrarlayan robot kollar gibi bir ok mekanizma bu varsaym salamaktadr. 
kararak yaklam performans kriteri 
f = f  - df   (27)  
ile  tanmlansn.  Bu  tanmdan  yararlanarak  (25)  
denklemi yeniden dzenlenirse  
r = f  +  df  ou-  (28)  

ifadesi elde edilir. (28) ifadesinde belirtilen performans kriteri, genel birok sistem iin filtrelendirilmi hata parametreli bir fonksiyon olarak 
 (29) 
f 
..()
r 
r 
eklinde stten snrlanabilir. (29) eitsizliinde tanmlanan ()  fonksiyonu bilinen snrlayc bir
.r
fonksiyon olarak tanmlanm olup (29) ile verilen eitsizlik birok mekanik, elektrik-elektronik sistemler iin geerlidir [16]. (28) ile (29) ifadeleri ve kararllk analizinden yararlanarak, renme tabanlgeri besleme denetim ifadesini 
uf  (30) 
o =kr ++.R 
eklinde tasarlayabiliriz. Yukardaki ifade de .R ; kararllk analizi srasnda ortaya kabilecek istenmeyen sinyallerin bastrlmasnda kullanlacak yardmc kontrol sinyalidir, f () fonksiyonumuzun 
tahmini iin kullanacamz renme fonksiyonu 

ft +Lf =sat(( -T )) Kr  (31) 
biiminde tasarlanm olup KL renme kazan katsays olarak tanmlanabilir. 
Aklama 2: Denklem (31)de kullanm olduumuz sat() fonksiyonu (ekil 1) snrlayc bir fonksiyon 
olarak tanmlanm olup, f renme fonksiyonun alaca deerleri snrl klmak amac ile kullanlmaktadr. 

ekil 1. sat(.) fonksiyonu 

(25) denklemi ile verilen sistemimiz, filtrelendirilmihata ifadesi (27) ve (30) ile tasarlanan geri besleme ifadesi kullanlarak yeniden dzenlenince, kapalevrim formlasyonumuz 
 f
r =-kr +f +fd --.R  (32) 
	

. 
eklinde elde edilir. 
(32) ila tanmlanan . terimini ileriki blmlerde sunacamz terimini ileriki blmlerde sunacamz kararllk analizine yardmc olmak amac ile renme tabanl kontrolr iin yaptmz varsaymlar da 
kullanarak inceleyelim: Bunun iin ilk olarak (31) tanmn. teriminde yerine koyarak 
.=fd -f  (33) 
-sat (( -T )) -L=fdft Kr 
ifadesini elde ederek balyoruz. (33) ifadesinde hem fd fonksiyonunun da T periyotlu periyodik fonksiyon olduu hem de sat () fonksiyonu st 
snrlaycsn oluturan . deerinin snrl olarak tanmlanm olan fd fonksiyonunun alabilecei en yksek deerden daha byk bir sabit olduu 
varsaymlarn da kullanarak 

.=sat( fd (t -T )) -sat (( L
ft -T )) -Kr  (34) 
eitlii elde edilebilir. Bu aamada renme bazlkontrolrmzn kararllk analizi iin aada verilen Teoremi sunabiliriz. 
Teorem-3: 
Sistem modeli (1) ile belirlenebilen sistem iin (30) ile belirtilen geri besleme ifademizi, f ifadesini de (31) denklemlerinde belirtildii biimde tasarlayp, (30) ifadesinde yer alan .R yi de, .R =Kn .rr , ki bu
2 () 
ifadede verilen Kn .\pozitif bir bastrc kazan katsaysdr, eklinde tasarladmzda; (3)te tanmlanan sistem hata sinyali zaman parametresi t sonsuza raksadnda sfra yaknsar. Yani sistem hatas
lim et() =0  (35) 
t.
ifadesini salar. 
spat: 
Teorem-3 ispatlayabilmek iin pozitif tanml skaler l ()
Vt .\ fonksiyonunu 
Vl =12 r2 + 2K 1 LtT-.t ..sat( f ( )) -sat f . .. 2  (36) 
d .( ()) d.
eklinde tanmlayalm. Bu fonksiyonunun trevi alnp, (32)de verilen filtrelenmi hata ifadesi ve Teorem 3te tanmlanan .R ifadeleri yerlerine 
konularak 

Vl =-kr 2 +rf t() +r.-Kn .2 (r )r2 1 2  (37)  
2K .sat( fd ( )) -sat f t ..
+. t ( ()) 
L 
1 . .2 
2KL . ((t -T )) -sat ft -T )) .
-sat fd (( 
ifadesi elde edilir. (37) ifadesi son satrnda yer alan blm iin (34) ifadesini kullanarak kare alma ilemini yapp ortaya kan denklemi sadeletirerek 
V=-kr 2 -1 Kr 2 +rf t() -K .2 rr2 .  .2  (38) 
l 2 Ln ()
2K 1 L . t ( ()) .
+ sat( fd ( )) -sat f t 
- 1 .ft()-f ()t .2 
2KL . d . 
ifadesi elde edilebilir. Yukardaki eitlikte f ()t ifadesi yerine (29)da verilen st snrn yerletirip denklemde yer alan dier elemanlarla karelerini tamamlayacak ekilde birletirerek ve ayn zamanda 
(38) ifadesinin ikinci satrnn her zaman negatif olmasndan da [17] yararlanarak Vl ifadesi iin 
2 
 (39) 24Kn 
Vl .-(k +KL - 1) 
r 
ile verilen stel snr elde edebiliriz. Denklem (39) ile verilen eitsizlikte bastrc kontrol kazanc olarak seilen Kn deikeni yeterince byk seildiinde, Vl 
ifadesinin trevi iin elde ettiimiz stel snr
2 
 (40) Vl.-r
eklinde daha da perinleyebiliriz. Burada .\sfrdan byk gerel bir katsaydr. (36) ve (40) ifadelerinden l ().L. (snrlandrlabilir 
Vt bir fonksiyon) olduundan Vl fonksiyonu ierisinde yer alan rt() de snrl olmak zorundadr. Ayn zamanda 
(40) ifadesinden rt()nin karesinin integralinin de 
snrlandrlabilir bir fonksiyon olduu gzlenebilir ( rt( ).L2 .L.). Denklem (36) ve rt() fonksiyo
nunun snrl olmasndan dolay belirsizliklerin tahminini ieren f (t) ve .R ifadeleri de 
snrlandrlabilen birer fonksiyondurlar. Geri dnlp (30)a bakldnda kontrol denetim sinyalinin de snrl kald gzlenebilir. Son olarak (28), (29) ve 
(30) ifadelerinden, rt()nin trev ifadesi rt()nin de 
snrl olduu, dolays ile rt()nin srekli bir 
fonksiyon olmas gerektii grlebilir. Bu bilgiler 

E. Zergerolu vd. Kontrol Sistemlerinde Belirsizlikle Ba Etme Yntemleri: Lyapunov Tarz Yaklamlar 
nda Barbalat Lemma [13]nn direkt uygulamasndan, filtrelendirilmi hata deerinin, dolays ile et(), pozisyon hata sinyali ve trevi 
ifadelerinin sfra yaknsayaca ispatlanm olur. Analizde dikkat ekici bir dier nokta ise yine (36) ifadesinin snrl olmasndan dolay ierdii integralin sonucunun zaman sonsuza raksarken sfra yaknsamak zorunluluunun oluudur. Bu, tahmin fonksiyonumuz f(t), zaman iinde, bilinmeyen 
parametrelerden oluan f(t) fonksiyonuna yaknsyor 
demektir. Ksacas, renme bazl kontrolrn, hem hata sinyalinin kapaldng sisteminde bulunan btn sinyaller snrllklarn korurken sfra yaknsamashem de tahmin sinyalimizin sistem bilinmeyenlerini renmesini salad sonucuna ulalm olur. 
3.3. Yapay Sinir Alar ile Denetim 
Yapay Sinir Alar (YSA) ile gerekletirilen uygulamalar, daha ok belirsizlik iermelerine karn, bu belirsizlikleri `yeterince renmesine olanak salanncaya kadar denetim altnda tutulabilen sistemlerde kullanlmaktadr. Sunumumuzun bu blmnde, Lyapunov tr yaklamlar asndan kavranmas daha kolay olan, basit bir YSA uygulamas seilmitir [11]. Genel sistem denklemi 
(1) biiminde verilen sistem iin ekil 2de genel hatlar zetlenen, giri, gizli ve k katmanlar olmak  katmanl yapay bir sinir a kullanlmasnn ngrldn varsayalm. 

ekil 2. YSA Modeli 
Bu tip alarda giri deerlerimiz xk.\, k={1,2,.., N1} 
olmak zere k ifadesi 
N2 N1 
y=. w.. vx +..+..  (41) 
..j ..jkk vj.w.j=1 ..k=1 ..
eklinde verilir. Burada, .() ile aktivasyon fonksiyonu, vjk ile wj ifadeleriyle sras ile giri-gizli katmalar ile gizli-k katmalar arasndaki arlklar elemanlar, .vj ve .w terimleri ise besleme sinyallerini temsil edilmektedir. Bunlar, doal sinir alarnda yer alan sinaps balantlar vastasyla gelen giri sinyallerinden farkl olarak hcreyi besleyen harici sinyallerin karl olarak tanmlanmtr. Agiri deerlerimiz x=[x xx ... x ]T eklinde 
012 N1 
vektrel formda ifade edilip (giri vektrnde birinci terim x0 deeri besleme sinyalinin, giri deeri +1 sabit deerinde olan, yeni bir sinaps olarak da yorumlanabilir) katmanlar arasndaki arlk matrisleri de WT =..wj.. ve VT=..vjk.. eklinde 
formle edilebilir. Bu vektrel formlasyon nda oluturduumuz yapay sinir ann k ifadesini 
y= WT., .=.(VTx)  (42) 
eklinde dzenleyebiliriz. Burada aktivasyon fonksiyonu ()  vektrel olarak 
..\n 
.() =1 nT n
z [.(z) ... .(z)], z.\
biiminde dnlmtr. Benzer olarak, anlatm btnl salayabilmemize yardmc olmak iin, 
(42) ile belirlenen arlk matrislerini birletirerek Z=..WT VT.. T eklinde bir geniletilmi matris ifade 
edilebilir. (1) ile verilen ve sistem bilinmeyenlerini belirli bir zaman boyunca eitilmi olan YSAmz k sinyali vastas ile modellemek iin (42) kullanrsak f()xi 
() =WT.+.()  (43) 
fx x 
eklinde tanmlayabiliriz. (43)te yer alan ()
. x 
fonksiyonu YSAnn gncellemeleri sonucu oluan hatalar ieren hata fonksiyonu olarak tanmlanmtr. .()x fonksiyonunun deeri YSAdaki arlklarn ideal olmas durumunda sfr olacaktr. Bu durumda f()x fonksiyonunu YSAnn yaklam fonksiyonu olarak adlandrabiliriz. YSAna giri deeri 
. . .. .T  parametrelerine snrl olarak 
eex xd
x=. d xd .
..seilmilerdir. Bu blmdeki amacmz geri yaylm algoritmalar kullanlarak katmanlar arasndaki arlklar matrisinin deikenlerini ayarlayarak sistemimizin YSA denetimi altnda kararllnsalamaktr. YSA kararllk analizinde daha nceki alt blmlerde verildii gibi takip edilmesi istenen sinyal 
..
ile ilk iki trevinin .Xd eklinde bilinen 
, 
,
xd 
xd xd 
pozitif bir Xd.\ eeri ile snrlandrlm olduunu varsayyoruz. Bu varsayma ek olarak btn zaman aralnda YSAya giri sinyali olarak verilen parametresinin 
eklinde snrl olmas
x.cX c 
r
1 d+2 
da gereklidir; verilen cc.\ hesaplanabilir pozitif 
1,2 sabit katsaylar olup r.\ denklem (3)te tanmlanmt. YSAnn eitim aamasnda oluan arlklar matrisini Uyarlamal Denetim blmnde verildii gibi f() =W T.( T

x Vx)  (44) 
eklinde tanmlayalm. (<44) tanmnda yer alan alk matrislerinin tahmin deerleri kullanlarak, ideal abalant arlklarna ait yaklam hatalar, =V,
VV -=W Z =-
WW - ve ZZ  biiminde oluturulabilir. YSA modelimiz gizli katman k yaklam hatasn
da giri deeri x parametresine snrl olmak suretiyle aktivasyon fonksiyonunun gerek deeri .() ile yaknsamas istenilen .() arasndaki hata deeri olarak 
=-= T  T  (45) ....(V x) -.(V x) 
tanmlayabiliriz. Aktivasyon fonksiyonu .(VTx) 
z
zerinde younlap, .?()d. dz () tanmlanana
z 
 
z=z 
fonksiyonun Z deikenine gre Taylor serisi alm
.(VTx) =.(V Tx) +.?(V Tx)V x +O(VTx)2  (46) 
biiminde yazlabilir. (46)da yer alan ()2 terimi
Oz
yksek katsayltrevleri iermektedir. Bu ifadede 
.(V Tx)  terimini (45) denklemini kullanarak 
 
..=?(V Tx)V TxO(V Tx)2 =.?V Tx +O(VTx)2  (47) 
+ 
biiminde yeniden dzenleyelim. (47)de yer alan O(VTx)2  ifadesi (46) ifadesi kullanlarak 
O(V Tx)2 =...(VTx) -.(V Tx)..-.?(V Tx)VTx  (48) 
eklinde yazlabilir [11]. Bu blmde ifade etmemiz gereken bir dier nokta da, YSAlarda kullanlan aktivasyon fonksiyonlarnn tanh, sigmoid, radial tabanl fonksiyon iermekte olup snrlandrlabilmeleridir. Bu sebeple Taylor serisi almsonucundan ortaya kan ()2  ifadesini 
Oz
 (49) 
O(V Tx)2 
.+c34
c X d 
V 
+c5 
V
r 
F F 
eklinde snrlandrlabiliriz. (49) ifadede yer alan 3,,4 \ deerlerini hesaplanabilen pozitif 
ccc5 .
sabit katsaylar olarak tanmlanmlardr. Bu aamada, kararllk analizinden de faydalanarak, YSA bazldenetim ifademizi 
o kr W T.(V Tx)
u =++.
Z
.()t =Kz (
+ZM )r  (50) 
F 
olarak tasarlayabiliriz. (50) ifadesinde kullanlan .()t terimi, analizimiz srasnda boy gsterecek istenmeyen terimleri bastrabilmek amac ile tasarlanm olup Kz .\ pozitif bir kazan terimi ve ZM .\ ise 
.ZM eitsizliini salayan bir F 
Z 
snrlandrma sabiti olarak tanmlanmlardr. (50) ifadeleri kullanlarak filtrelendirilmi hata kapalevrim dinamii 
r =-+kr WT.(VTx) -W T.(V Tx) .. (51) 
+-
biiminde elde edilir. (51) ifadesinde WT. terimini ekleyip/karr, elde edilen ifadede W T. terimini de ekleyip/karr ve .() yerine (47) ifadesini 
kullanarak, (52) ifadesini yeniden dzenleyerek 
r=-+ T  ? T  T ?  T ..  (52) 
kr W (.-.V x)+W .V x +-
eitliini elde edebiliriz. Bu eitlikte kullanlan .()t terimi bozucu terimleri ieren bir fonksiyon olarak 
.()t =W T.?VTx +WTO(VTx)2 +.  (53) 
biiminde tanmlanmtr. Bu terim  (54) 
.()t 
.+ 
Z 
+d2 
Zrd0 d1 
F 
F 
ifadesiyle snrlandrlabilir. (56)da yer alan dd,,d .\olup pozitif hesaplanabilen katsaylardr.
012 Yukarda verilen bilgiler nda artk Teorem-4 sunalm: 
Teorem-4: 
(1) 
ile belirlenebilen sistem iin denetim sinyali ut(), 

(50)
 ifadesinde belirtildii biiminde tasarlanp, yapay sinir amz katman arlklarnn deiimleri ( .g ve .terimleri srasyla .=Tg 0 ve


 g .>T
.=.>0 olmak zere pozitif tanml tasarm
 matrisleri, .terimi ise .>0 pozitif bir kazan katsays olacak ekilde) 
. =.g ( - V x -.W )r  (55) 
W ..? T 
?TT
V. =. (x(. W) -.V )r  (56) 
olarak tasarlandnda, sistemimiz filtrelendirilmihata deeri rt()ve yapay sinir ann gncelleme 
arlklarWve Vdzenli olarak boyu nceden belirtilebilen mutlak bir snra yaknsar. 
spat: 
Teorem-4 ispatlayabilmek iin pozitif tanml skaler n ()\ fonksiyonunu 
Vt .
Vn =1 r2 +1 tr{W T .- g 1W }+1 tr{V T . -1V}  (57) 
22 2 

E. Zergerolu vd. Kontrol Sistemlerinde Belirsizlikle Ba Etme Yntemleri: Lyapunov Tarz Yaklamlar 
biiminde seip, zamana kar deiimini incelemek iin (57) tretilip (55) ve (56) ifadelerini yerletirerek yeniden yazlrsa 
Vn r {WW  }.  (58) 
 =-k2 +tr  T( -W) r 
trVV( -V) .r+(..-)r
+{ T } 
ifadesi elde edilmi olur. Yukardaki ifadeyi .r terimi parantezine alarak matrisin izi ifadelerindeki parametreleri daha nceden tanmladmz Z parametresine gre dzenlersek (58) denklemini 
2 T
 nkr +t{ ( - )}.rr..)  (59) V =-rZ ZZ +( -
eklinde sadeletirerek elde ederiz. Bu ifadede .()t terimi yerine (50)i yerletirir ayn zamanda 
2  zellii kullanarak 
{T( - )}trZ Z Z . ZZ 
- 
Z
M FF 
2
V n.-kr 
+. 
r Z 
(ZM-
Z
F 
F)  (60) -z(
KZ 
+ZM)r2 +
r
. 
F 
fonksiyonu elde edilmi olur. (60) de geen .()t terimini (54) da belirtilen st snr kullanlarak da 
2
V n.-kr 
+. 
r Z 
(Z - 
Z
M 
)
F F 
2  (61) 
Z
-Kz( +ZM)
r 
F 
.
rd. 0 +d1 Z 
Z
r
+ +d2
F F
. . 
eitsizlii elde edilecektir. Son olarak Kz>d2 eitsizliinden yararlanlarak (61) ifadesi dzenlendiinde 
 (62) 
V n.-r
ifadesi elde edilecektir. (62)de bulunan .\ terimi 
 (63) 
=kr
+. 
Z Z 
-ZM)-d0 -d1 
Z
(
F F F 
olarak tanmlanmtr. Bylece Vn terimi (62) ifadesinde bulunan  terimi pozitif olduu mddete daima negatif olacaktr. Ayn zamanda  ifadesini sadeletirebilmek amac ile c3 =ZM+d . 1 olacak ekilde 
yeni bir c3.\ kazan katsays tanmlayp dzenlersek 
=kr
+. 
Z Z 
-c3 )-d0  (64) 
F( F 
c3 .2 c32 
=kr
+... 
Z
- .-.-d0.
F 2 .4 eitlii elde edilir. (62)nin ikinci satrna geilirken bir st satrda yer alan ( 
-c3 )  eriminin karesine 
Z
F tamamlanmtr. (64) ifadesinden de grlebilecei gibi ߒnn daima pozitif olmas iin 
c3 
>.(2 )2 +d0  (65) r 
k 
Veya 

>c3 + 
c32 +d0  (66) 
Z
F 24 . 
gereklidir. Yani (65) veya (66) eitsizliklerinin herhangi biri salandmddete (57) ile tanmladmz Vn fonksiyonu azalacaktr. Bu azalma 
yukarda belirtilen eitsizlikler ihlal edilinceye kadar, yani 

c3
2
.( )2 +d0 
c3 c3 d0r
. 2  veya 
Z 
.+ + 
k 
F 24 .
mutlak snrlarna gelininceye kadar devam edecektir. Bu yzden de snrl bir fonksiyon olup ierdii rt(), W ve V.L.  standart sinyal izleme metodolojisi 
takip edilerek kapaldng sistemimizdeki btn sinyallerin snrlandrlabilir (.L.) olduu ispatlanr. Ayrca (52), (55) ve (56) ifadelerinde belirtilen 
.. 
rt(), W ve V terimlerinin de snrlandrlabilir 
olduklar grlr. Trevleri snrlandrabildii iin de rt(), W ve V terimleri dzenli sreklidir. Bylece 
yapay sinir a katman arlklarn barndran  ile 
Z
F 
ve izleme hatasn ieren rt() terimlerinin dzenli 
srekli olarak boyutlar ZM.\ snrlandrma katsays ve k.\ denetim kazanc kullanlarak ayarlanabilen mutlak bir snra yaknsad ispat edilmi olur5. 


3.4. Grbz Denetleyici 
nceki blmlerde sunulan denetleyiciler, sistemde bulunan belirsizliklerle ba etmek iin genel olarak bu belirsizliklerin zaman iinde etkilerini yok edecek ekilde ileri besleme terimlerini ayarlama esasna dayanrken, grbz (robust) denetleyicilerin belirsizlikle ba etme yntemleri farkllk gsterir. Grbz denetleyicilerde belirsizlikler iin kullanlan tahmin deerleri sabit olup, tam olarak bilinemeyen sistem parametreleri iin en makul olduu dnlen 
5Her ne kadar analizimiz sonucunda rt() ve Z sinyallerinin mutlak bir snra yaknsayaca ispatlanmolsada bu snra sokulmalariin geen zaman zerinde teorik olarak bir denetime sahip olabileceimizi ispatlanamad. 

bir deer seilip denetleyicinin ileri besleme terimi dzenlenir. Daha sonra denetleyicinin geri besleme blm, tahmin ile gerek deer arasnda oluacak fark, sisteme dardan etki eden grltymesine davranp ve bu bozucu etmene kar grbz olacak ekilde tasarlanr. Bu sebeple sistem belirsizliklerinin sabit tahmin deerleri, f ( ,,)  ile gerek deerleri 
xx .
f ( ,, ) arasndaki fark olarak tanmlanan 
xx .
f (xx,,.)nin 
fxx ,,.
<.( ,, )  (67) 
xx .
 () 
ifadesindeki eitsizlii salamas grbz denetleyicilerin en nemli ngrsdr. (67) ifadesinde tanmlanan .() fonksiyonu daha nceki 
tanmlarnda olduu gibi, belirlenebilen bir snrlama fonksiyonu olarak tanmlanmtr. 
almamzda ncelikle sklkla kullanlan yksek frekans ve yksek kazan teknikli grbz denetleyicileri daha sonra ise tantm yeni saylabilecek [18] yumuak bir grbz denetleyiciyi inceleyeceiz. 

3.4.1. Yksek frekans 
Yksek frekansl grbz denetleyici iin (7)de tanmlanan denetimin geri besleme blmn 
uo =kr +f (xx ,,.)+vR  (68) 
biiminde tasarlayarak balayalm. (68) ifadesinde de yer alan f ( ,,)  sistem parametrelerinin en uygun 
xx .
ancak sabit deerli tahminlerin, vR .\ fonksiyonu ise 
.2r  (69) 
vR =
. 
r 
+. 
eklinde tanmlanm olup ierdii .>0  kabul edilebilir kabul edilebilir hata performans ile sfr arasnda yer alan kk bir deer olarak kullanlr. (6), (7) ve (8) ifadesinde ile oluturulan filtrelenmihata dinamiini (68) ve (69)da tanmlanan grbz denetleyiciyi yerletirerek, filtrelenmi hata dinamiini 
r=-kr -
.2rf (xx .)  (70) 
+ ,,
. 
r 
+. 
biiminde dzenleyebiliriz. Bu ifadeyi yapacamz kararlk analizinde temel olarak kullanacaz. 
Teorem-5: 
Sistem denklemi (1) ile verilen dentim sistemi iin, geri besleme ifademiz (68) ve (69)da belirtildii biimde grbz denetleyici olarak tasarlanrsa (3) ile tanmlanan filtrelendirilmi hata deeri (dolayssistem ile takip etme hatas) 
rt() . 
A +Be -2kt t [0, .)

.. 
eitsizliini salayarak, A =.ve Br(0) 2 -. olacak 
= 
k 
k ekilde stel bir zarf eliinde dzenli olarak boyu ayarlanabilen mutlak bir snra yaknsar. 
spat: 
Teorem 5i ispatlamak iin pozitif tanml skaler bir r ()
Vt .\ fonksiyonunu, 
Vr=1 r2  (71) 2 
eklinde tanmlayalm. Bu Vr zaman iindeki deiimini fonksiyonunun trevini alarak 
V r =rr  (72) 
biiminde elde ederiz. (72) ifadesinde (70) ile verilen filtrelendirilmi hatann trev deerini yerine yazar ve (67)de tanmlanan snrlayc fonksiyonu da kullanarak Vr ifadesini 
22
r .  (73) 
Vr .-kr 2 +r 
.- 
r 
.+. 
eklinde stten snrlayabiliriz. Bu ifadede yer alan son iki terimi yeniden dzenleyerek 
r 
.. 
.  (74) . 
Vr .-kr 2 +... 
r 
.+.... 
biimindeki ifadeyi de elde edebiliriz. ..\ teriminin kk ama pozitif bir deer olduu gz nne alnnca (74) ifadesi 
Vr.-kr 2 +.  (75) 
eklinde yeniden dzenlenebilir. (71) ve (74) ifadelerinden yaralanlarak Vr fonksiyonu 
Vr .-2kV +. (76) 
biiminde elde edilmiolur. (76)da verilen diferansiyel denklemin direkt zm 
Vt() .V (0) e-.t +...1 e-.t .., .2k  (77) 
rr .- 
olarak elde edilir. (71) ifadesinde verilen Lypunov 

E. Zergerolu vd. Kontrol Sistemlerinde Belirsizlikle Ba Etme Yntemleri: Lyapunov Tarz Yaklamlar 
aday fonksiyonumuzdan V (0) =1 r2(0)  yargs oradan 
2 
da (77) ifadesi kullanlarak 
rt() .r (0)exp -.t +.1-exp -.t .12 12 { }.. { }. (78) 
22 . 
elde edilebilir. (78) denklemi ile Teorem-5 ifadesinde vermi olduumuz 

. 
A +Be-2kt st snrn
rt() 

geerli olduu, filtrelenmi hata formlasyonunun herhangi bir balang deeri iin stel (ekponansiyel) bir zarf eliinde dzenli olarak boyu 
A olarak belirlenebilen ve . ve k deerleri kullanlarak ayarlanabilen mutlak bir snrn iine yaknsayacagsterilmi olur. 
3.4.2. Yksek kazan 
Yksek kazan yntemi kullanan grbz denetleyicilerde (68) ile tanmlanan geri besleme deeri kullanlr, ancak (69) ile tanmlanan vR yksek 
kazanl grbz denetleyiciler iin 
r.2  (79) 
vR =
. 
eklinde tasarlanr. vR terimi bu biimde tanmlandnda (70)de elde edilen filtrelendirilmihata fonksiyonunun trev ifadesi 
r=-kr -.2r + f (,,.) (80) 
xx 
. 
eklini alr. Bu durumda Teorem-5ten de yararlanarak karallk analizimizi aada verildii biimde yapabiliriz. 
Teorem-6: 
Teorem 5te verilen sonu, grbz denetleyici geri besleme teriminde yer alan vR fonksiyonu (79) biiminde seildii zamanda geerlidir. 
spat: 
Teorem-6nn ispat iin pozitif tanml skaler, r ()1
Vt .\, fonksiyonunu, 
Vr=1 r2  (81) 2 
eklinde tanmlayp, trevini (80) nda incelediimizde 
22 Vr .-kr 2 + 
.-r .  (82) .
r 
ifadesini elde edebiliriz. Daha nceki analizimize benzer ekilde (82)i 
. 
r 
.. 
.  (83) . .. 
Vr .-kr 2 + r 
..1- 
biiminde sadeletirmek de mmkndr. imdi (83)te yer alan keli parantezin iindeki ifadeler gz nne alp bu ifade iin geerli iki ayr koulu ayrayr inceleyelim: 
Durum-1: 
>. ise (3) ifadesi direkt olarak 
. r 
Vr.-kr 2  (84) 
halinde yazlabilir. (81) ve (84) ifadelerinde de r ()
Vt 
teriminin, dolays ile filtrelenmi hata deerinin stel olarak sfra yaknsayaca grlebilir. 
Durum-2: 
.. ise bu direkt 0(1 .r ) .1
. r 
<-. 
ifadesinin doru olmas gerektiini gsterir. Bundan yararlanarak da (83) 
V.-kr 2 +.  (85) 
biiminde sadeletirebiliriz. (84)de ulalan ifade ile 
(75) ifadesi birbirlerinin ayn olduu iin Teorem5de kullanlan ispat burada da geerlidir. Yani rt() 
stel olarak boyu ayarlanabilen bir mutlak snra dzenli olarak yaknsar. Durum-1 ve Durum-2nin ortak kmeleri Teorem-5de verilen ifade ile birebir rtmektedir. Bylece Teorem-6nn ispat da salanmtr. 
3.4.3. Yumuak grbz denetleyici 
Yukarda verilen iki rnekten de (yksek frekans ve kazanl grbz denetleyiciler) grlebilecei zere grbz denetleyiciler her trl sistem belirsizlikleri ile ba edebilme yetisine sahiptirler, ancak ulalmak istenen performans arttrldka (. deeri kltldke) sisteme uygulanan denetim sinyali yksek salnmlar iermeye balar. Bu yksek salnmlar sonucu atrt olarak adlandrlan durumla da karlalabilir. Hatta denetim altndaki sistemin hareketlendiricilerine zarar verme ihtimali ile bile karlaabiliriz. Bu hususlarla uygulama srasnda baa kma yntemleri literatrde sunulmu olmakla birlikte birou kararllk analizi dna, mhendislik tecrbeleri sonucu elde edilmitir. almamzn bu blmnde dierlerine gre yumuak saylabilen grbz bir denetleyiciyi inceleyeceiz. Analizimize 
(3) ile tanmlanm olan filtrelenmi hata performanssinyalini kullanarak gelitirilmi olan filtrelenmi yeni bir hata endeksi olan s .\ terimini 
s =rr (86) 
+
eklinde tanmlayarak balyoruz. (86) ifadesi, hata ve hatann trevi ifadeleri kullanlarak ayn zamanda 

.. 
s =+++e (.1) e.e (87) 
biiminde de dzenlenebilir. Yeni tanttmz s ()t nin denetim sistemi dinamii altnda zamana 
gre deiimi de 
...	.. 
s=-+xud f() (.1) e .e (88) 
+++ 
ifadesi ile elde edilir. (88) denklemine filtrelendirilmihata deeri toplanp kartlarak 
.. 
(, ,,.) --ru (89) 
s=Nxxx 
ifadesini elde ederiz. (89)da kullanlan yardmc
.. 
N (xxx,,,. sinyali 
) 
.. ... .. 
	 (90) 
(,,,.) xd f() ++++.1) e .
Nxxx +( er 
biiminde tanmlanm olup, sinyalinde yer alan sistem durumlarnn yerlerine istenilen sistem durumlar yerletirilerek oluturulan Nd sinyali de 
(89)a eklenip kartlarak 
s=--+-ruN Nd +Nd (91) 
denklemi elde edilebilir. (91)de kullanlan Nd fonksiyonunu 
.... .fx(, x,.)
Nd =+xdddxd  (92) .xd 
olarak da ifade edebiliriz. Bilinmesi gerekli bir husus da xd .C4 olacak ekilde dzenlendiinde Nd 
fonksiyonu ile trevi iin d , ..  olduudur. 
NNd L
Sistem durumlarn ihtiva eden N () ile istenilen 
durumlar ihtiva eden Nd fonksiyonlar arasnda fark da 
. 
o
NN=-Nd (93) 
olarak tanmlanmtr. Burada grbz denetimimizin 
ngrs No fonksiyonunu, =. sT  olmak zere 
zr
[]
 (94) No ..()
z z 
eklinde stten snrlanabilir olmasdr ki bu ngr bilinen bir ok sistem iin geerlidir. (91) ifadesini (93) kullanarak yeniden dzenleyelim: 
s=--+Nd o	 (95) 
ru+N 
(95)da yer alan denetleyici sinyalinin trev deerini u=(ks 1) s sgn( )  (96) 
++ r 
>0  bir kazan katsays olacak ekilde tasarlarsak yeni tanmladmz filtrelendirilmi hata deerinin kapal evrim dinamik modelini 
s =(ks 1) s sgn( ) +Nd -+No-+-rr  (97) 
eklinde elde ederiz. Bu hesaplamalar nda Teorem-7yi sunalm. 
Teorem-7: 
Sistem modeli (1) ile belirlenebilen sistem iin denetim sinyalinin trevi, (96) biiminde tanmlanr ve bu ifadede yer alan kazan katsays
> 
olacak ekilde seilirse; (86)da tanmlanan sistemin filtrelendirilmi hata endeksi ve 
Nd ()t 
+
Nd ()t 
(3) ile tanmlanan filtrelenmi hata deerleri zaman t sonsuza raksadnda sfra yaknsar. Yani sistem hatas
lim {st(), rt () }=0 (98) 
t.
ifadesini salam olur. 
spat: 
Teorem-7yi ispatlayabilmek iin pozitif tanmlskaler PI ()\ fonksiyonunu 
Vt .
VPI =1 r2 +1 s2 +P	 (99) 
22 
eklinde tanmlayalm. Bu fonksiyonda P .. .tL() ve P nin iinde yer alan
=-0 ..dt0
L =. ( -sgn( ))  biiminde tanmlanm olup 
sNd r 
aadaki aklama ile detaylandrld zere P .0dr. 
Aklama: Yukarda verilen P .0 yargsnkantlamak iin ncelikle 
t 
.L() d .
.. 
rt () -rt () -N ()
00 dt0
	


t0	. 
ifadesinin doruluunu ispatlayalm. Verilen ifadenin bilinen deerleri yerlerine yazlarak integral t0 -t snr deerlerinde hesaplanrsa 

E. Zergerolu vd. Kontrol Sistemlerinde Belirsizlikle Ba Etme Yntemleri: Lyapunov Tarz Yaklamlar 
tt 
.L() d =.( d -sgn( )) d
.. rN r . 
t0 t0 
. t .rd .-. t .r sgn( ) 
+ Nd rd . 
.. ..
t0 t0 
eitlii elde edilir. Bu ifadenin sondan bir nceki integral teriminde grlecei zere ksmi integral ilemi uygulanmtr. Bu ifadede Nd terimi yerine 
(92)de tanmlanan eiti yazlr ve dzenlenirse 
tt 
.L()d =.( d -sgn( )) d
.. rN r . 
t0 t0 
t 
tt .Nd
- 
r()
. 
+r() .N ()
d . 
t0 -.r .. d. 
t0 t0 
eitlii elde edilir. Bu eitlikte integrali alnabilen terimlerin integrali alnp snr deerleri yazldnda 
. tL()d =. t ( d -.N . d . (). -sgn( )) d
.. rN r . 
t0 t0 
-
() d ()t -r(0) Nd (0) -(
+rtN rt() rt0
() ) 
ifadesi elde edilir. Bir basamak daha ilerlenip 
t 
.L() eriminin stel snr hesaplandnda
. d. 
t0 
tt 
.Nd ().-)
.L().d...
r()
. 
.( Nd ()
. 
+ 
d. 
..
t0 t0 
+
rt() 
( 
Nd () t 
-) 
+ 
rt() 
-r(0). Nd (0) 
0 
ifadesine ulalr. Burada terimi Teorem-7de seildii zere 
. 
Nd ()t 
+ 
Nd ()t 
biiminde tanmlandnda 
t 
.L()d .
..
rt () -rt () -N () t
0 0 d


	
t0 .
0 
ifadesini elde ederiz. Bu ifadeden de P .0 yargsnn doru olduu direkt olarak grlmektedir. 
Bu aklamadan sonra Teoremimizin ispatna devam edebiliriz. (99) ile tanmlanan fonksiyonun zaman iinde deiimi zamana gre trevi alnarak 
( -r) +s -ks +1)  (100) VPI =rs (( s -r 
o
NNd -sgn( )) r
++-L 
eklinde bulunur. (100) ifadesinde, Teorem-7de tanmlanan L deeri yazlarak yeniden dzenleme yaplrsa 
VPI =-rs r2 -(ks +1) s2 -rs +sN o  (101) 
+sN( d -sgn( )) r -L 
eitlii elde edilir. (101), birbirini yok eden terimler ortadan kaldrlarak yeniden dzenlendiinde VPI =-r2 -(ks +1) s2 +sN o  (102) eklinde sadeletirilebilir. No teriminin yerine (94)de 
tanmlanan stel snr kullanlarak (102) VPI .-r2 -(ks +1) s2 + 
 (103) biimde snrlanabilir. Snrlama ileminin devamnda 
s 
.( 
z 
) 
z 
2 . 2 
.  (104) 
z s 
.()
z 
z 
s
+
VPI .-
-ks
. . 
eitlii elde edilir. ks terimi ks >14 .2() eklinde 
z 
tasarlandnda (101)de verilen stel snr .2())
z 
2 
 (105) 4ks 
eklinde yeniden ifade edilebilir ve bu ifade 
VPI .--(1 
z 
z
VPI .-.
z 
2, .=1-.2(), ..\+  (106) 
4ks 
olarak da yazlabilir. (99) ile (106)dan grlebilecei zere ,L2 .L.  olmaktadr. r ve snin snrlanabilir 
rs .olmas ve (86)da verilen snin tanmndan r.L.olduu gzlenebilir; yani rt() dzenli olarak srekli 
bir fonksiyondur. Barbalat Lemmann direkt uygulamasndan lim t.rt() =0  yargsnn doruluu ispatlanm olur. Filtrelendirilmi hatann sfra yaknsamas hatann (3) ifadesi ve ayn zamanda da hata deerinin trevinin de sfra yaknsayacangsterir. Standart sinyal izleme yntemleri ile s.L.
olduu ve dolays ile lim t.st() =0  de ispatlanr. Bylece teoremimizde vermi olduumuz savispatlam olduk. Geri dnp denetim sinyali ifadesinin trevi (96)nn integral ifadesini alp sisteme uygulanacak gerek denetimi hesaplarsak 
t 
u srt sr . rd
=(k +1) () -(k +1) (0) +((ks +1) r +sgn( ) ).
0 
ifadesi elde ederiz. Dikkatinizi bu ifadeye ekip analizimizi filtrelenmi hata olan rt() yerine izleme hatas olan et() zerine kurulduunda ilk terim 

denetleyicimizin orantl terimi, integral iinde yer alan ikinci terim ise integral kazancn temsil edebilecei grlebilir. Ksaca bu yeni grbz denetleyici model bazl bir eit PI denetleyici olarak da yorumlanabilir. 
4.	SONULARIN RDELENMES
almamzda incelediimiz denetleyicilerin performanslarn ve zayflklarn gsteren Tablo 1 aada verilmitir. 
Tablo 1. Denetleyicilerin performanslarve zayflklar
Baedebildii Belirsizlik Tipleri  KararllkTipi  
Tam Bilinen M odel Bazl  - EK  
Uyarlamal  Dorusal Parametrelerine Ayrlabilir  AK  
renme Tabanl Referans Sinyali Periyodik  AK  
Yapay Sinir A KsmDenetim Altndaki  MSY  
Grbz Yksek Frekansl  Her Tr  MSY  
Grbz Yksek kazanl  Her Tr  MSY  
Grbz Yumuak  Trevlenebilir  AK  

EK: Ekponansiyel Olarak Kararl, AK: Asimtotik Olarak Kararl, MYS: Mutlak Snra Yaknsar 
Yukardaki tabloda zetlendii gibi, eer sistem modelini tam olarak biliyorsak ve bu modelde belirsizlikler yok ise, en iyi yaklam tam bilinen denetleyici kullanmaktr. Bu denetleyici Blm 2de gsterildii zere hatay stel bir zarf iinde sfra gtrr. Uyarlamal denetim ise belirsizlikler ieren sistem modelinin parametrelerinin lineer olarak ayrlabilir olduu durumlarda kullanlr. Uyarlamaldenetim sistemi rahatsz edici etkileri bulundurmamaktadr; bundan dolay hata performansiyi sonu verir. Ancak analiz sonucunda sistem parametrelerini tam olarak tanyabildiini gsteremeyiz. Buna ramen hata ve trevini asimptotik olarak sfra gtrd Blm 3.1de ispatlanmtr. renme tabanl denetleyicide ise belirsizlikleri ieren modelimiz lineer olarak parametrelerine ayrlamyor ancak referans sinyalimiz periyodik olarak seilmise kullanlr ve takip etme hatasn uygulama denetleyici gibi asimptotik olarak sfra gtrr. Uygulamal denetleyiciye gre stnl sistem belirsizliklerini bir btn olarak renebilmesidir. Yapay sinir alar ile denetimde ise daha ok belirsizlik iermelerine karn ngrlen YSAnn bu belirsizlikleri yeterince renmesine olanak salayncaya kadar denetim altnda tutulabilen sistemlerde kullanlmaktadr. Bu denetim kullanldnda denetim sonucunda takip etme hatasdaha nceden belirlenebilen, mutlak bir snr iine gtrr. zellikle kontrol altnda tutulabilen ve performans artrmas gerekli olan sistemlerde kullanlmas salk verilir. Grbz denetleyiciler parametreleri zaman iinde deienler dahil her trl belirsizlikle baa kabilirler. Grbz denetleyicilerde belirsizlikler iin kullanlan tahmin deerleri sabit olup, tam olarak bilinemeyen sistem parametreleri iin en aklcl deerler seilip denetleyicinin ileri besleme terimi dzenlenir. Daha sonra denetleyicinin geri besleme blm, tahmin ile gerek deer arasnda oluacak fark, sisteme dardan etki eden grltymesine davranp ve bu bozucu etmene kar grbz olacak ekilde tasarlanr. Grbz yksek frekans ve yksek kazan modelleri sistem takip etme hatasnstel bir zarf ierisinde mutlak bir snr iine gtrr. Ancak seilebilen bu mutlak snr ok kk ise sisteme uygulanan grbz denetim sinyali yksek salnmlar ierip atrtya yol aabilir. Bu durumlarda ise Blm 3.4.3te tantlan yumuak grbz denetleyicilerin kullanlmas daha uygun olabilir. 

